1.測量誤差定義及分類

　　測量誤差就是測量值，與被測量的真值之差，直接采用這種差值表示的方法稱絕對誤差表示法。此外還有相對誤差表示法(見式(1.8)和(1.9))等。

 

　　測量誤差有不同的分類方法，常見的是按出現(xiàn)的規(guī)律分類，有系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差三類。

　　(1)系統(tǒng)誤差

　　在同一條件下，對同一被測參數(shù)進行多次重復測量時，所出現(xiàn)的數(shù)值、符號都相同，或者按一定規(guī)律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差，前者稱為恒值系統(tǒng)誤差，后者稱為變值系統(tǒng)誤差。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因有：測量原理或測量方法的不完善、標準量值的不準確、儀表本身的缺陷、環(huán)境條件的變化等。系統(tǒng)誤差是可以通過修正來補償?shù)模荒芡耆懦?/p>

　　(2)隨機誤差

　　在同一測量條件下，多次重復測量同一被測量時，其絕對值和符號以不可預定的隨機性的方式變化稱為隨機誤差。隨機誤差的產(chǎn)生可能由于人們尚未認識的原因，或目前尚無法控制的某些因素(如電子線路中的噪聲)的影響，即偶然因素所引起的。

　　(3)粗大誤差

　　超出在規(guī)定條件下預期的誤差稱為粗大誤差。此誤差值較大，明顯表現(xiàn)為測量結(jié)果異常。如測量時讀錯、記錯儀表指示值，儀表操作失誤，測量數(shù)據(jù)計算錯誤等。含粗大誤差的測量結(jié)果毫無意義應該剔除。

　　測量誤差按產(chǎn)生的原因分類，有設備裝置誤差(如標準器誤差、儀表誤差、輔助設備和附件誤差)，環(huán)境誤差，方法誤差和人員誤差等。

　　2.誤差的估計和評價處理方法

　　(1)隨機誤差

　　設在重復條件下對某個量進行無限次測量，若測量列中不包含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則該測量列中的各個測量誤差出現(xiàn)的概率密度分布服從正態(tài)分布，即

(2.1)

 

　　式中，為測量值與約定真值之間的誤差;為分布函數(shù)的標準差，其定義為

(2.2)

 

　　

 

　　式中，n為測量次數(shù)。正態(tài)分布曲線如圖2.1所示?？梢钥闯稣龖B(tài)分布的隨機誤差具有對稱性，單峰性，有界性和抵償性等特征。

　　標準差反映了測量誤差的分散程度，越大，圖2.1所示的曲線越趨于平坦，幅值越小，表明誤差分散性較大;反之越小，曲線越尖銳，幅值越大。對式(2.1)給出的分布函數(shù)在區(qū)間[-，]內(nèi)積分，即可求得測量誤差落在該區(qū)間上的概率。當分別取，2和3時，可求得概率;;。

　　在實際測量中，測量次數(shù)n為有限值，而且真值為未知?？梢宰C明n個測量值的算術平均值

(2.3)

 是被測量真值的最大似然估計值，的數(shù)學期望恰好就是被測量真值。

 

　　測量值的標準差(也稱樣本標準差或?qū)嶒灅藴什?為

(2.4)

 

　　測量值的算術平均值也是一個隨機變量，它的實際標準差由下式計算，

(2. 5)

 

　　式(2. 5)說明用n次測量值的算術平均值代替單次測量的測定值估計具有更高的精密度。

 

　　測量值落在置信區(qū)間[-，+](稱為置信區(qū)間半長)內(nèi)的置信概率用表示，置信區(qū)間與置信概率共同表明了測量結(jié)果的置信度。由于置信度的不同，測量結(jié)果的誤差有不同的表示方法，常用的有

　?、贅藴收`差 置信區(qū)間半長=，置信概率;

　?、谄骄`差=0.7979，;

　?、刍蛉徽`差=0.6745，;

　?、軜O限誤差=3，。

　　當測量次數(shù)n<10時，測量誤差需用t分布的概率密度函數(shù)表示，即

(2. 6)

 

　　式中，為特殊函數(shù)，稱為自由度。t分布在區(qū)間[，]內(nèi)的置信概率為。

　　各次測量(或各組測量)的精密度不同的測量過程稱非等精度測量。在非等精度測量中，被測量真值的最佳估計值是各次組測量值的加權平均值，即

(2. 7)

 

　　式中，就是測量值的權，是一正常數(shù)，是測量值的標準差。加權平均值的標準差則為

(2. 8)

 

　　(2)粗大誤差

　　在一列測量數(shù)據(jù)中，判別是否有粗大誤差現(xiàn)在主要有兩種方法。

　?、倮肋_法 如果測量列中某一測量值其殘差(=)的絕對值大于該測量列標準誤差的3倍，即

，

那么可以認為為壞值，應予以剔除。此方法用于測量次數(shù)n>10的情況。

 

　　②格拉布斯法 當測量次數(shù)較少()時，若測量列某一測量值的殘差滿足如下關系，

(2. 9)

　　則可以認為存在粗大誤差。式中稱為格拉布斯系數(shù)，為顯著水平，(一般取0.01或0.05)。當n=3～10時，約為1.15～2.4。和拉依達法比較，格拉布斯法在n較小時，判別粗大誤差的效果更好。

　　(3)系統(tǒng)誤差

　　分析和處理系統(tǒng)誤差的關鍵，首先在于如何發(fā)現(xiàn)和判定測量數(shù)據(jù)中是否存在系統(tǒng)誤差，主要檢驗方法或評判準則有

　?、賹嶒瀸Ρ确?采用準確度高一等級的“標準”儀表在相同條件下進行測量。

　?、跉堄嗾`差觀察法 設測量列中各測量值的系統(tǒng)誤差比隨機誤差大，將它們按測量先后順序排定，若殘差的符號有規(guī)律地交替變化，則測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差;若殘差的大小有規(guī)則地向一個方向變化，則測量列中含有累進的系統(tǒng)誤差。

　?、垴R利科夫準則和阿貝-赫梅特準則 計算差值

　　

(2. 10)

 

　　其中當n為偶數(shù)時，取，;當n為奇數(shù)時，取，。若差值D顯著地異于零，則測量列中含有累進的系統(tǒng)誤差，該準則稱馬利科夫準則。

 

　　設

，

若，則可認為測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差，該準則稱阿貝-赫梅特準則。

 

　?、軜藴什钆袚?jù) 用不同的標準差計算公式計算并進行比較，如由式(2.2)計算的標準差稱貝塞爾公式，另一個計算標準差的公式稱佩特爾斯公式，其定義為

(2. 11)

 

　　若

(n>19)，

則懷疑測量列中可能存在變值系統(tǒng)誤差。式中k為置信概率P決定的置信系數(shù)，當和時，k分別取2和3。

　　(4)誤差的合成

　　考慮測量模型，可以是直接測量量，也可以是影響輸出的非被測參數(shù)或外界影響因素。當函數(shù)關系明確，各個影響量的測量誤差已知(實際上就是系統(tǒng)誤差)，則待測量的總誤差為

(2. 12)

　　實際上，系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差同時包含在測量值中，它們之間沒有絕對的界限，而且測量值的真值一般是不能準確知道。所以，國際上現(xiàn)在逐步采用不確定度來表示測量結(jié)果的質(zhì)量高低程度。用標準差(由式(2.4)或(2.5)計算得到)表示的測量不確定度稱標準不確定度，用u表示。標準不確定度與測量結(jié)果的絕對值的比值稱相對標準不確定度，用表示。

　　采用不確定度的概念后，不論測量過程產(chǎn)生的誤差的性質(zhì)，只要各輸入量彼此獨立，則合成的不確定度為

 

　　式中是由輸入量對引起不確定度的分量;為輸入量本身的不確定度;。下標r為相對不確定度，其中\(zhòng)。