第2節(jié) 正弦量的相量表示

在上一節(jié)中我們已經(jīng)看到，正弦量可以用解析式來(lái)表示，如，還可以用波形圖表示，如圖4.3所示。

此外，正弦量還可以用相量來(lái)表示。相量表示法的基礎(chǔ)是復(fù)數(shù)，就是用復(fù)數(shù)來(lái)表示正弦量。

4．2．1復(fù)數(shù)

1．復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部和模

叫虛單位，數(shù)學(xué)上用i來(lái)代表它，因?yàn)樵陔姽ぶ?em>i代表電流，所以改用j代表虛單位，即

圖4.5 有向線段的復(fù)數(shù)表示

令一直角坐標(biāo)系的橫軸表示復(fù)數(shù)的實(shí)部，稱(chēng)為實(shí)軸，以+1為單位；縱軸表示虛部，稱(chēng)為虛軸，以+j為單位。實(shí)軸與虛軸構(gòu)成的平面稱(chēng)為復(fù)平面。復(fù)平面中有一有向線段A，其實(shí)部為a，其虛部為b，

如圖4.5所示，于是有向線段A可用下面的復(fù)數(shù)表示為

A=a+jb 　　（4.9）

由圖4.5可見(jiàn)，

　?。?.10）

r表示復(fù)數(shù)的大小，稱(chēng)為復(fù)數(shù)的模。有向線段與實(shí)軸正方向間的夾角，稱(chēng)為復(fù)數(shù)的幅角，用表示，規(guī)定幅角的絕對(duì)值小于_180度。

2．復(fù)數(shù)的表達(dá)方式

該式稱(chēng)為復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)式。

式（4.12）還可以寫(xiě)為

該式稱(chēng)為復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式。

因此，一個(gè)復(fù)數(shù)可用上述幾種復(fù)數(shù)式來(lái)表示，可以相互轉(zhuǎn)換。復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算可用直角坐標(biāo)式，復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算可用指數(shù)式或極坐標(biāo)式。

實(shí)數(shù)和虛數(shù)可以看成復(fù)數(shù)的特例：實(shí)數(shù)是虛部為零、幅角為零或_180度的復(fù)數(shù)，虛數(shù)是實(shí)部為零、幅角為_90度或_-90度的復(fù)數(shù)。

實(shí)部相等、虛部大小相等而異號(hào)的兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做共軛復(fù)數(shù)。用A^*表示A的共軛復(fù)數(shù)，則有

A=a+jb

A^*=a-jb 　　　　　　　（4.15）

例4.5 寫(xiě)出下列復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)形式

例4.6 寫(xiě)出下列復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式

（1）3+j4 （2）j5 （3）-4+j3 （4）10

解：

4．2．2復(fù)數(shù)的運(yùn)算

1．復(fù)數(shù)的加減

若兩個(gè)復(fù)數(shù)相加減，可用直角坐標(biāo)式進(jìn)行。

如：　　　　　　　　　　　 A₁=a₁+jb₁ A₂=a₂+jb₂

則 A₁±A₂=（a₁+jb₁）±（a₂+jb₂）=（a₁±a₂）+j（b₁±b₂）　　　　　(4.16)

即幾個(gè)復(fù)數(shù)相加或相減就是把它們的實(shí)部和虛部分別相加減。

復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的有向線段（矢量）對(duì)應(yīng)，復(fù)數(shù)的加減與表示復(fù)數(shù)的有向線段（矢量）的加減相對(duì)應(yīng)，并且復(fù)平面上矢量的加減可用對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)相加減來(lái)計(jì)算。見(jiàn)圖4.6，矢量A₁、A₂各與復(fù)數(shù)A₁=a₁+jb₁、A₂=a₂+jb₂相對(duì)應(yīng)，把兩個(gè)矢量按平行四邊形法則相加，所得的矢量A₁+A₂與兩個(gè)復(fù)數(shù)之和A₁+A₂=（a₁+a₂）+j（b₁+b₂）相對(duì)應(yīng)。按A₁-A₂=A₁+（-A₂），把矢量A₁和（-A₂）用平行四邊形法則相加，所得的矢量A₁-A₂與兩個(gè)復(fù)數(shù)之差A₁-A₂=（a₁-a₂）+j（b₁-b₂）相對(duì)應(yīng)。