1 為什么要探討線性化

注：這里所說(shuō)的線性化，包括下面會(huì)用到的"Exact Linearization", 都是指基于一階泰勒展開(kāi)的線性化近似，而不是基于微分幾何的全局線性化或者輸出反饋線性化。

很多人看到這個(gè)題目，或許第一感覺(jué)會(huì)是：“為什么要研究線性化？線性化不就是一階泰勒展開(kāi)嗎？這再簡(jiǎn)單不過(guò)了，用小學(xué)數(shù)學(xué)就好啦！”

在理論上，這一點(diǎn)也沒(méi)錯(cuò)。比如我們要在原點(diǎn)線性化如下的非線性模型，相信大多數(shù)人不假思索的就能告訴我：線性化的結(jié)果是 y = u。

既然如此，我們?yōu)槭裁催€要探討線性化呢? 答案很簡(jiǎn)單，上面一個(gè)例子是理論上的，也就是經(jīng)過(guò)很大程度上簡(jiǎn)化了的，幾乎完美的。

那么實(shí)際上，工程中需要線性化的問(wèn)題是什么樣的呢？

假如有這樣一個(gè)航天飛機(jī)的模型。工程師現(xiàn)在想把控制器參數(shù)優(yōu)化一下。為此，他需要線性化從飛機(jī)控制器的輸入到導(dǎo)航控制器的輸入之間這個(gè)可能含有幾千個(gè)模塊，幾萬(wàn)個(gè)信號(hào)的子系統(tǒng)。

很顯然，想要解析的泰勒展開(kāi)這樣一個(gè)模型，在實(shí)際中是相當(dāng)費(fèi)時(shí)費(fèi)力的。

那么，我們來(lái)看看難點(diǎn)都在哪：

1. 沒(méi)有非線性方程

理論上，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)總是可以用光滑的ODE來(lái)建模。而實(shí)際上，在工程應(yīng)用中，系統(tǒng)往往是用框圖來(lái)搭建的，比如用Simulink等軟件。 用框圖來(lái)建模有非常多的好處，比如可以方便的模塊化，通過(guò)觀察某個(gè)具體的信號(hào)值來(lái)debug, 還有其他的好處就不一一列舉了。但是像這樣復(fù)雜的框圖模型是很難等價(jià)的轉(zhuǎn)化成一組非線性方程組的。甚至有些模塊，根本就不存在解析表達(dá)式。所以，很難對(duì)一個(gè)非線性方程去求偏導(dǎo)數(shù)來(lái)獲得泰勒一階展開(kāi)項(xiàng)。

2. 不光滑

有些模塊或許存在解析數(shù)學(xué)表達(dá)式，但是根本不可導(dǎo)；有些可能存在大量的奇異點(diǎn)；有些甚至導(dǎo)數(shù)無(wú)從定義，比如enabled subsystem, triggered subsystem等。

3. 多重采樣時(shí)間

在很多實(shí)際模型里面，有些模塊是連續(xù)的，例如積分器。有些模塊是離散的，采樣時(shí)間可以是0.1秒，可以是10秒，甚至可以是無(wú)窮大，比如constant block。那么，最后線性化出來(lái)的系統(tǒng)到底應(yīng)該是連續(xù)的，還是離散的？

4. 牽一發(fā)而動(dòng)全局

假設(shè)，在最理想的情況下：我們真的把這個(gè)模型對(duì)應(yīng)的非線性方程組表示出來(lái)了， 并且最終驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性，然后成功的進(jìn)行了線性化?？墒?，第二天模型的作者表示：”我把某幾個(gè)子系統(tǒng)里的幾條信號(hào)刪掉了，然后把其它幾條信號(hào)的連接方式重新設(shè)計(jì)了一下，你再幫我泰勒展開(kāi)一下吧“。很不幸，這很大程度上意味著我們之前的解析方程組被徹底改變了，所有的工作需要重頭在來(lái)過(guò)。這樣的分析方式在實(shí)際的工程開(kāi)發(fā)中是很不現(xiàn)實(shí)的，因?yàn)闀r(shí)間成本太高。

2 數(shù)值擾動(dòng)

既然解析方法不行，那么應(yīng)該怎么做呢？

一個(gè)比較傳統(tǒng)而且有效的方法是數(shù)值擾動(dòng)。

來(lái)看看第一個(gè)例子：

我們可以在輸入端輸入一個(gè)常數(shù)，比如說(shuō)du = 0.1。 然后， 我們測(cè)量輸出信號(hào)，發(fā)現(xiàn)：

dy = 0.0998

兩者相除，我們得到了一個(gè)基于數(shù)值線性化的結(jié)果：

y = 0.998*u

如果用更小的du，事實(shí)上我們可以得到更精確的結(jié)果。

現(xiàn)在這個(gè)方法看起來(lái)比解析方法好用了很多。在某種程度上，它的思想其實(shí)就是把整個(gè)系統(tǒng)當(dāng)成是一個(gè)黑箱，通過(guò)輸入輸出來(lái)進(jìn)行辨識(shí)。

事實(shí)上，對(duì)于比較小和比較簡(jiǎn)單的模型，數(shù)值擾動(dòng)的效果都還是不錯(cuò)的。

1. 延時(shí)的處理

在這個(gè)例子中，“黑箱”里有一個(gè)隱藏的很深的延時(shí)模塊。在這種情況下，我們給這個(gè)系統(tǒng)提供擾動(dòng)輸入，然后去測(cè)量輸出的時(shí)候，會(huì)發(fā)現(xiàn)輸出信號(hào)過(guò)了很久都沒(méi)有發(fā)生變化。由此，我們很有可能會(huì)錯(cuò)誤的把這個(gè)系統(tǒng)線性化成一個(gè)0增益！ 當(dāng)然了，如果事先能知道其中有一個(gè)這樣的Delay block，是可以采取一些措施來(lái)進(jìn)行更好的辨識(shí)的。但即使如此，自動(dòng)控制原理告訴我們，在頻域上逼近一個(gè)Delay Block的一個(gè)很好的方式是用Pade Approximation。 但是這種逼近用數(shù)值擾動(dòng)是很難做到的，特別是對(duì)于復(fù)雜的，含有多個(gè)具有不同時(shí)間長(zhǎng)度的延時(shí)環(huán)節(jié)的系統(tǒng)。

現(xiàn)在，你也許已經(jīng)可以看出此處存在的一個(gè)矛盾： 數(shù)值擾動(dòng)是把整個(gè)模型當(dāng)成一個(gè)黑箱，不需要知道黑箱里面的信息；但是我們實(shí)際上是知道這個(gè)黑箱里所有模塊的具體情況的?？墒沁@些信息在數(shù)值擾動(dòng)的過(guò)程中沒(méi)法有效的利用上。

2. 一些特殊的模塊

再看看下面這個(gè)例子：

如我們用數(shù)值擾動(dòng)來(lái)線性化這個(gè)模型，那么我們會(huì)遇到兩個(gè)不同的情況：

擾動(dòng)的足夠小，我們得到的是一個(gè)0增益的線性化結(jié)果；

擾動(dòng)信號(hào)大到一定的程度，我們會(huì)得到一個(gè)線性的關(guān)系。

那么，哪個(gè)結(jié)果是對(duì)的呢？

答案是：都對(duì)，也都不對(duì)。這取決于用戶的具體問(wèn)題。

如果用戶故意用這樣一組quantizer, 目的就是想分析在一個(gè)很小的范圍內(nèi)此模型的動(dòng)態(tài)。在此情況下，a是所期望的。還有一種可能，就是用戶本身是不想用Quantizer的，但是在用數(shù)字電路實(shí)現(xiàn)某個(gè)部件的時(shí)候，不得已的讓一個(gè)本來(lái)應(yīng)該是線性增益的關(guān)系變成了這樣的Quantization的結(jié)果。那么在這種情況，b是用戶所期望的。

對(duì)于這樣一個(gè)特殊的模塊，我們的確可以通過(guò)調(diào)整干擾信號(hào)的大小來(lái)得到不同的結(jié)果。但是假設(shè)有無(wú)數(shù)多個(gè)類(lèi)似這樣的模塊存在于某個(gè)模型中，有些模塊是屬于情況a，有些屬于情況b，那么整個(gè)基于數(shù)值擾動(dòng)的線性化結(jié)果就無(wú)法如用戶所期望的了。

Simulink Control Design和Block-by-Block

Simulink Control Design工具箱的一大特點(diǎn)就是它提供了Block-by-Block的線性化方法。這個(gè)方法有時(shí)也叫Exact Linearization（不同于基于微分幾何的全局線性化）。簡(jiǎn)單來(lái)講，在線性化的過(guò)程中，每個(gè)模塊會(huì)先被線性化，算出各自的Jacobian矩陣。然后由Simulink Control Design工具箱把這些信息有效的整合在一起（這是一個(gè)非常復(fù)雜的過(guò)程），從而計(jì)算出整個(gè)模型的線性化結(jié)果。

看下面這個(gè)例子：

線性化通路上有3個(gè)模塊，他們的Jacobian分別是cos(0) = 1, n階的pade approximation的狀態(tài)空間表達(dá)式和1。那么對(duì)于這個(gè)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)而言，整個(gè)線性化的結(jié)果就是這三個(gè)線性系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。

在第二個(gè)例子中：

用戶可以打開(kāi)Quantizer的窗口：

把Treat as gain when linearizing的選項(xiàng)打上勾，這樣就會(huì)使得這個(gè)模塊被線性化成一個(gè)線性增益。

Simulink Control Design工具箱還帶有各種高級(jí)的功能。例如，對(duì)于一些很難線性化的模塊，用戶可以自己配置此模塊的線性化結(jié)果，用于整個(gè)模型或者子系統(tǒng)的線性化。