時(shí)變時(shí)延的在線自適應(yīng)估計(jì)

本文提出了一種時(shí)變時(shí)延的在線自適應(yīng)估計(jì)新方法.首先，本文給出了一種修正的強(qiáng)跟蹤濾波器算法，并且建立了時(shí)變時(shí)延的估計(jì)模型.基于此模型，時(shí)變時(shí)延可以被當(dāng)成系統(tǒng)狀態(tài)由修正的強(qiáng)跟蹤濾波器算法直接進(jìn)行估計(jì).所提出的方法具有使用簡(jiǎn)單、跟蹤迅速、精度高等特點(diǎn).最后，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的有效性.
　　關(guān)鍵詞:時(shí)變；時(shí)延；自適應(yīng)估計(jì)；在線

On-Line Adaptive Estimation of Time-Varying Time Delay

ZHOU Dong-hua
(Dept.of Automation,Tsinghua University,Beijing 100084,China)

　　Abstract:A new approach to on-line adaptive estimation of time-varying time delay is proposed.First,a modified strong tracking filter algorithm is presented,and an estimation model for the time-varying time delay is set up.Based on this model,the time-varying time delay can be directly estimated by the modified strong tracking filter algorithm.The proposed approach is characterized by easy implementation,rapid tracking,high accuracy and etc.Finally,simulated experimental results are provided to show the effectiveness of the proposed approach.
　　Key words:time-varying;time delay;adaptive estimation;on-line

一、引　　言
　　不同地點(diǎn)的兩個(gè)傳感器所接收的同一信號(hào)一般都存在時(shí)延，這個(gè)時(shí)延的估計(jì)與跟蹤技術(shù)在諸如聲納、雷達(dá)等對(duì)象的信號(hào)處理中具有重要的作用.設(shè)y1(k+1),y2(k+1)是兩個(gè)傳感器上得到的觀測(cè)序列，即：

　(1)

其中，s(k+1)是源信號(hào)，e1(k+1),e2(k+1)是零均值、獨(dú)立的白噪聲，其方差分別為R1和R2，a是已知的信號(hào)衰減因子.T(k+1)是兩感器之間的時(shí)變時(shí)延，其值是未知的非負(fù)整數(shù).現(xiàn)在的研究目標(biāo)就是要給出T(k+1)的有效估計(jì)方法.
　　此問(wèn)題近年來(lái)已受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注.文獻(xiàn)［1］采用高階統(tǒng)計(jì)量方法，給出了一種有效的定常時(shí)延的估計(jì)方法.文獻(xiàn)［2］基于梯度算法給出了一種時(shí)變時(shí)延的估計(jì)方法，其前提條件是誤差函數(shù)必需是單峰的.利用隨機(jī)逼近算法，文獻(xiàn)［3］得到了一種時(shí)變時(shí)延的估計(jì)方法，其缺點(diǎn)是動(dòng)態(tài)跟蹤精度太差.文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［5］給出了兩種有效的時(shí)變時(shí)延的估計(jì)方法，然而，它們具有算法復(fù)雜，設(shè)計(jì)困難的共同缺點(diǎn).
　　本文基于一種修正的強(qiáng)跟蹤濾波器算法，給出一種新的時(shí)變時(shí)延的在線自適應(yīng)估計(jì)方法.所提出的方法具有使用簡(jiǎn)單，跟蹤迅速，精度高等特點(diǎn).仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的有效性.

二、一種修正的強(qiáng)跟蹤濾波器算法
　　一類離散時(shí)間非線性系統(tǒng)由下式描述：

　(2)

其中狀態(tài)x∈Rn，輸入u∈Rp,輸出y∈Rm,非線性函數(shù)f:Rm×Rn→Rn和h:Rn→Rm對(duì)x有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；過(guò)程噪聲v(k)∈Rq是零均值，方差為Q(k)的高斯白噪聲，測(cè)量噪聲e(k)∈Rm也是零均值，方差為R(k)的高斯白噪聲，Γ(k)是已知的適當(dāng)維數(shù)的矩陣，v(k)和e(k)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的.
　　通過(guò)引入一個(gè)弱化因子β，我們?cè)谶@里進(jìn)一步給出關(guān)于系統(tǒng)I的一種修正的強(qiáng)跟蹤濾波器(MSTF-Modified Strong Tracking Filter),由下式給出：

(k+1|k+1)=(k+1|k)+K(k+1)γ(k+1)　(3)
(k+1|k)=f(k,u(k),(k|k))　(4)

其中，

K(k+1)=P(k+1||k)HT(k+1,(k+1|k))［H(k+1,
(k+1|k))P(k+1|k)HT(k+1,(k+1|k))
+R(k)］-1　(5)
P(k+1|k)=LMD(k+1)F(k,u(k),(k|k))P(k|k)
FT(k,u(k),(k|k))+Γ(k)Q(k)ΓT(k)　(6)
P(k+1|k+1)=［I-K(k+1)H(k+1,(k+1|k))］P(k+1|k)　(7)
γ(k+1)=y(k+1)-h(k+1,(k+1|k))　(8)

其中，　(9)

　(10)

LMD(k+1)=diag{λ1(k+1),λ2(k+1)，…,λn(k+1)}　(11)
　(12)

　(13)
N(k+1)=V0(k+1)-β.R(k+1)-H(k+1,(k+1|k))
.Γ(k)Q(k)ΓT(k)HT(k+1,(k+1|k))　(14)
M(k+1)=F(k,u(k),(k|k))P(k|k)FT(k,u(k),
(k|k))HT(k+1,(k+1|k))H
.(k+1,(k+1|k))=(Mij)　(15)
　(16)

其中ρ=0.95是遺忘因子，β1是一預(yù)先選定的弱化因子.選取原則為αi1,i=1,2,…，n［6］.下面給出弱化因子的物理意義.
　　由求取漸消因子的公式(11)～(16)得知，只有當(dāng)：
V0(k+1)-β.R(k+1)-H(k+1,(k+1|k))Γ(k)Q(k)ΓT(k)HT(k)HT(k+1,(k+1|k))＞0時(shí)，漸消因子才有可能起作用.由于已知R(k+1)＞0，因此,選擇更大的弱化因子β將減弱漸消因子的調(diào)節(jié)作用，使得估計(jì)值更加平滑.但是，若選擇的β值太大，漸消因子將永不會(huì)起作用，此MSTF就會(huì)退化為通常的擴(kuò)展卡爾曼濾波器(EKF)，濾波效果反而會(huì)變差.怎樣選取一個(gè)最優(yōu)的β是一個(gè)有待解決的問(wèn)題.實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可以通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真，根據(jù)估計(jì)的總體誤差，很容易地選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)摩?
　　此MSTF的計(jì)算量與STF的計(jì)算量幾乎完全一樣［8］.因此，此MSTF算法是一種實(shí)時(shí)算法.

三、時(shí)變時(shí)延的估計(jì)方法
　　首先，給出如下定義：
　　定義1：實(shí)數(shù)b的整數(shù)部分記為INT(b).
　　定義2：實(shí)數(shù)b的偏上整數(shù)記為round(b),由下式定義：

　(17)

　　為估計(jì)時(shí)延T(k+1),我們建立如下估計(jì)模型：

　(18)

　　將式(18)與式(2)相比較，當(dāng)把T(k)看做狀態(tài)變量x(k)，［y1(k+1)　y2(k+1)］T作為輸出變量時(shí)，上節(jié)給出的修正的STF算法可以直接用來(lái)估計(jì)T(k).此時(shí)有：

　　考慮到估計(jì)出的時(shí)延應(yīng)該為非負(fù)整數(shù)，由定義1和2，為方便起見(jiàn)，分別把時(shí)延的估計(jì)值(k|k)和預(yù)報(bào)值(K+1|k)的偏上整數(shù)記做(k|k)和(k+1|k)，即，(k|k)=round((k|k)),(k+1|k)=round((k+1|k)).此時(shí)，應(yīng)該用下面兩公式替代原公式(9)和(10).

　(19)
　(20)

　　式(20)中，用到了恒等式(k+1|k)=(k|k)，此式來(lái)自(k+1|k)=(k|k).這是由式(18)中的第1式和式(4)得到的.
　　另外，式(8)中的(k+1|k)也應(yīng)由(k|k)替代.顯然，這時(shí)的修正STF算法中，Γ(k)=1,u(k)=0,Q=0,αi=1.
　　由式(13)得知，Mii不能全部為零，因此由式(15)得知，H(.)永遠(yuǎn)不能為零矩陣.為此，可以把式(20)修改為：

　(21)

其中，c(k)=a［s(k-(k|k))-s(k+1-(k|k))］.

四、仿真實(shí)驗(yàn)
　　實(shí)驗(yàn)1：
　　源信號(hào)s(k)是周期為16，幅度為±1的方波，a=0.4,噪聲信號(hào)的協(xié)方差矩陣為R0=diag［0.022　0.022］，時(shí)變時(shí)延設(shè)置成：

　　在修理正的STF算法中，取(0|0)=1≠T(0),β=5,P(0|0)=100,R=R0.仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果由圖1所示.