在上一個系列“超越局域近似-費曼圖展開（1）”中，我們看到了高階頂角函數(shù)對于自能修正的神奇之處。通過將不同格點上的局域兩粒子頂角函數(shù)用非局域項連接起來，我們可以得到對于動力學(xué)平均場局域自能的非局域修正。這讓我們對于頂角函數(shù)的作用有了新的認(rèn)識和理解。頂角函數(shù)不再只是作為Bethe-Salpeter方程中的一部分，總是與各種極化率綁定在一起。高階頂角函數(shù)與低階頂角函數(shù)之間的關(guān)系，讓我們多了一種構(gòu)造量子多體理論的途徑。今天，我們來進(jìn)一步聊聊兩粒子頂角函數(shù)的有趣之處。

我們首先來介紹一下兩粒子格林函數(shù)。和單粒子格林函數(shù)類似，它代表的是多粒子體系對于增加和減少兩個粒子的響應(yīng)，可以依照單粒子格林函數(shù)的樣子類似定義

這里我們用1,2,3,4表示一系列聯(lián)合指標(biāo)，可以包括動量、自旋等。如果作用量S是無相互作用的，我們可以對四費米算符應(yīng)用Wick分解，分別得到兩個單粒子傳播子的乘積，

然而，如果S含有相互作用項時，就會多出一項，對應(yīng)的是4費米子不可分的收縮項。

我們對單粒子格林函數(shù)很熟悉，知道它有兩個外腳，其他部分對應(yīng)自能的貢獻(xiàn)。

相應(yīng)的，我們可以理解，兩粒子格林函數(shù)應(yīng)該有四個外腳，同時還有類似于自能一樣的東西，如下圖所示。

這三項，分別對應(yīng)了上述公式中兩粒子格林函數(shù)的三個貢獻(xiàn)。其中，陰影部分的圖形是兩粒子格林函數(shù)的“自能”部分，我們通常稱之為完全頂角函數(shù)(full vertex function)。這里我們沒有畫成類似于單粒子格林函數(shù)Dyson方程那樣的迭代方式，而是把它收縮成一個整體。這是因為兩粒子層次上的“Dyson方程”形式上變得比較復(fù)雜了，還需要慢慢聊。 大部分人可能都是通過如下的兩個途徑了解到兩粒子頂角函數(shù)：
1.單粒子格林函數(shù)求導(dǎo)；
2.Bethe-Salpeter方程。 其實兩者是一回事。前面我們提到過，通常我們推導(dǎo)關(guān)聯(lián)函數(shù)是在作用量中添加一個高斯形式的源項，然后對源項求導(dǎo)。這里我們要計算的是具有四費米子算符的兩粒子格林函數(shù)，所以我們需要對單粒子格林函數(shù)求源項的導(dǎo)數(shù)，才能構(gòu)造出四費米子算符的乘積。這里，我們要稍微注意一下源項是如何進(jìn)入到格林函數(shù)中的。源項的算符具有高斯型，因此會在無相互作用格林函數(shù)里出現(xiàn)，通過Dyson方程，也會出現(xiàn)在自能中。所以，單粒子格林函數(shù)對源項的求導(dǎo)，包含了對單粒子無相互作用格林函數(shù)部分的求導(dǎo)，也包含了對自能的求導(dǎo)。前者會給出上述圖形中前兩項，而自能對于源項的求導(dǎo)給出的就是頂角函數(shù)及其連續(xù)遞推公式Bethe-Salpeter方程。因為是教科書上的知識，這里我們不再做更詳細(xì)的介紹了。取決于自能中對單粒子格林函數(shù)的出現(xiàn)方式不同，我們會得到三個不同的Bethe-Salpeter方程，如下圖所示。這是我們通常所說的particle-hole horizontal channel、particle-hole vertical channel及particle-particle channel中的Bethe-Salpeter方程。這是我們這篇所討論內(nèi)容的出發(fā)點。

在多體計算中，我們通常利用Bethe-Salpeter方程計算有頂角修正的各種極化率，圖形上對應(yīng)著把上述完全頂角函數(shù)F的四個外腳兩兩連接起來，如下圖左圖所示。實際上，通過完全頂角函數(shù)我們也可以計算單粒子格林函數(shù)的自能，如下圖右圖所示。

(b)圖初看起來沒有那么熟悉，其實把完全頂角函數(shù)用其最低階近似U替代，就可以發(fā)現(xiàn)是我們熟悉的二階自能圖中唯一的那個相連拓?fù)洳坏葍r圖形。而F是包含了所有頂角相互作用的完整表示，如果我們可以嚴(yán)格計算得到F，那么通過（b）計算出的自能也將是嚴(yán)格的。通過F與自能的關(guān)系（b），原則上，我們可以構(gòu)造出來一個完全自洽的理論，即通過計算兩粒子完全頂角函數(shù)，從而計算單粒子自能，再反過來通過單粒子格林函數(shù)求源項導(dǎo)數(shù)而計算新的完全頂角函數(shù)。 這樣的自洽過程把F與自能的關(guān)系（b）及Bethe-Salpeter方程連接在一起，形成了一個完整的同時具有單粒子和兩粒子自洽性的閉合循環(huán)。這顯然要比僅僅只有單粒子自洽性的量子多體方法要好。我們常見的格林函數(shù)微擾方法，例如Hartree-Fock、二階微擾論、fluctuation-exchange approximation (FLEX， 漲落交換近似)、non-crossing approximation（非交叉近似）等等，都是僅有單粒子層次上的自洽性。它們在兩粒子層次上不具有自洽性。 F與自能的關(guān)系（b）及Bethe-Salpeter方程都是嚴(yán)格的，如果我們可以嚴(yán)格的計算得到完全頂角函數(shù)，我們預(yù)想的同時具有兩粒子和單粒子自洽性的多體理論，自然也是一個嚴(yán)格的理論。 但是現(xiàn)實是我們無法嚴(yán)格而完整的計算出完全頂角函數(shù)。它是一個依賴于三個獨立動量和獨立頻率的函數(shù)，大部分情況下我們得不到它的閉合表達(dá)形式。利用數(shù)值計算，也存在實際困難。動量空間是具有周期邊條件的，但是松原頻率空間沒有周期性的，原則上所有的頻率都會貢獻(xiàn)自能中的內(nèi)部變量求和。目前已知的所有數(shù)值計算辦法（包括量子蒙特卡洛和精確對角化）都無法得到F的全部信息。因此，我們常常不得不利用Bethe-Salpeter方程做些近似。簡單的想法是對每個channel里不可約的頂角函數(shù)Γ近似處理，然后利用Bethe-Salpeter方程迭代計算出F。因為三個channel里的F是等價的，只需要計算一個最簡單的particle-hole horizontal channel里的Bethe-Salpeter方程即可。 然而，為什么嚴(yán)格的推導(dǎo)會給我們?nèi)齻€不同channel的Bethe-Salpeter方程呢，這其中隱含了什么重要的信息嗎？ 實際上這個三個Bethe-Salpeter方程并不是獨立的。當(dāng)我們試圖去近似某一個Γ的時候，我們很可能就會破壞其他另外兩個channel中的Bethe-Salpeter方程。這是因為完全頂角函數(shù)F具有一個非常重要的對稱性-crossing symmetry。它連接了這三個Bethe-Salpeter方程，即通過crossing symmetry我們總是可以把其中的一個Bethe-Salpeter方程變成另外一個。當(dāng)然，只有Γ是嚴(yán)格的，或者對其做了恰當(dāng)?shù)慕?，才能保證這一點。很可惜，目前，我們常見的單粒子自洽理論，包括前述的Hartree-Fock、二階微擾論、fluctuation-exchange approximation (FLEX， 漲落交換近似)、non-crossing approximation（非交叉近似）等等都不滿足這一點。通過他們計算得到的兩粒子頂角函數(shù)都破壞了crossing symmetry。 什么是crossing symmetry呢？它是兩粒子頂角函數(shù)因為費米子的交換反對易性而具有的一個特性。如果我們?nèi)我饨粨Q兩個費米子算符，就會得到一個額外的負(fù)號。

兩粒子頂角函數(shù)具有和庫侖排斥力一樣的二次量子化形式，這里我們簡單的把其系數(shù)寫成算符指標(biāo)的一個函數(shù)F(12;34)。在上式中我們分別交換了C2和C4兩個湮滅算符，及C2和C3一對產(chǎn)生湮滅算符。通過重新改寫啞元，我們得到如下的頂角函數(shù)之間的關(guān)系。

我們來形象的理解一下上面變換的意義。如果F(12;34)表示一對電子-空穴3-4散射成另外一對電子-空穴1-2，這是一個水平的散射過程，那么將C2和C4兩個湮滅算符后，就變成了從3-2散射成1-4，是一個垂直的散射過程。交換兩個算符的過程，可以形象的理解為將這兩個算符的頂角對應(yīng)的外腳相互交換，這兩個外線必然要cross，所以我們把這個對稱性稱為crossing symmetry。對應(yīng)于上述交換C2和C4兩個湮滅算符，crossing-symmetry將particle-hole horizontal channel中的頂角函數(shù)變到了particle-hole vertical channel中。同樣的道理，如果我們交換一個產(chǎn)生一個湮滅算符，比如C2和C3，我們也可以把particle-hole channel與particle-particle channel聯(lián)系起來。總而言之，費米子的交換反對稱性，使得三個channel中的Bethe-Salpeter方程并不獨立，他們之間應(yīng)當(dāng)可以相互轉(zhuǎn)換。 另外，因為完全頂角函數(shù)F是遵從crossing symmetry的，當(dāng)我們考慮任何一個Bethe-Salpeter方程，左邊的F在crossing操作下變成了自己（符號相應(yīng)的改變），等式右邊自然也應(yīng)當(dāng)變成自身。我們以particle-hole horizontal channel為例，等式右側(cè)的第二項，在cross c_2和c_4后會從horizontal的連接方式變成了vertical的，而不是變成自身。因此，我們只能要求等式右邊的第一項Γ中應(yīng)當(dāng)有一項，它能夠在cross c_2和c_4后變成等式的第二項。換句話說，Γ中應(yīng)該包含vertical channel中等式右邊的第二項，它在cross 2和4后，會給出horizontal channel等式右邊的第二項。同樣的道理，Γ中也應(yīng)當(dāng)含有particle-particle channel中的連接方式，這樣才能保證無論怎樣交換兩個外腳，都可以保證F能夠變回自身，滿足crossing symmetry。因此，我們熟悉的Bethe-Salpeter方程中的Γ應(yīng)該表示成如下的樣子：

這里將在每一個channel中不可約（不可約的意思是說，不能夠通過剪斷任意兩條內(nèi)部的格林函數(shù)線使其分成兩個獨立的部分）的Γ進(jìn)一步分解，其中Λ被稱為完全不可約頂角函數(shù)，它在三個channel中都是一樣的，并且在任何一個channel中都是兩粒子不可約的。作為對比，這里我們強調(diào)一下，Γ_ph僅在particle-hole horizontal channel里是不可約的，我們不能再進(jìn)一步通過剪斷兩條單粒子格林函數(shù)線把它分解成horizontal方向上的兩個獨立部分了。但是Γ_ph在其他channel就變成可約的了。比如在particle-hole vertical channel里，我們要剪斷垂直的兩個格林函數(shù)線。按照上圖，這顯然是可以把Γ_ph等式右側(cè)的第二張圖分成兩部分。所以我們說，Γ_ph在vertical channel里可約的。同樣的道理，Γ_ph在paritlce-particle channel里也是可約的。 上圖對于Γ的分解，構(gòu)成了一組新的方程，我們稱之為parquet方程。這樣的分解完全保證了兩粒子完全頂角函數(shù)F具有crossing symmetry。這時候，我們就可以安全的對Λ做近似，而不會破壞crossing symmetry了。這顯然比在Bethe-Salpeter方程中對三個Γ做近似要更有優(yōu)越性。對于如何求解完整的parquet 方程，可以參考筆者的程序和方法 [1, 2]。 我們可以把Λ用它的最低階近似U來替代，叫做parquet approximation。2007年，K. Held組用動力學(xué)平均場方法嚴(yán)格計算了局域完全不可約頂角函數(shù)Λ， 并用動力學(xué)平均場lattice格林函數(shù)來替換parquet方程中的格林函數(shù)線。這樣做，完全不可約頂角函數(shù)雖然是局域的，但是通過parquet方程及Bethe-Salpeter方程，我們可以計算得到非局域的完全頂角函數(shù)F，從而計算得到非局域的自能。因此，這也構(gòu)成了一種動力學(xué)平均場的非局域擴展方法，稱之為dynamical vertex approximation [3]. 這里我們不再進(jìn)一步闡述這個方法了，剩下的大部分都是數(shù)值計算的細(xì)節(jié)了。通過和Dual Fermion及non-local expansion方法對比，我們可以看到，雖然這些方法的出發(fā)點不同，但是自能的非局域修正均來自于局域兩粒子頂角函數(shù)的非局域連接。任何單粒子層次上的非局域性，都無法進(jìn)入到自能中，都僅僅只是在由impurity格林函數(shù)變換成lattice格林函數(shù)的過程中起作用。自能，作為單粒子中的相互作用部分，其本質(zhì)是來自于兩體相互作用，因此任何非局域的修正來至于兩粒子頂角函數(shù)也是情理之中。基于這樣的思想，也可以通過局域兩粒子頂角函數(shù)的不同連接方式，構(gòu)造出全新的量子多體方法，對動力學(xué)平均場的局域自能進(jìn)行非局域修正。這是一個嶄新的領(lǐng)域，雖然略有門檻，但是有很多可以嘗試和擴展的東西。目前的非局域擴展多集中在單軌道體系中，Hubbard相互作用，如何將非局域擴展方法更為核心的部分抽出來，簡化計算，使得它更好的適用于真實材料體系的研究，將會是下一個研究中心。

結(jié)束的話

《動力學(xué)平均場-三十而已》這個系列，算上前言，一共9篇，到這里就告一段落了，感謝各位讀者每期的陪伴。國內(nèi)做動力學(xué)平均場方法論的同行不多，我最初的目的僅僅只是自說自話，簡單的科普一下，同時給自己的學(xué)生寫一個簡單的學(xué)習(xí)綱要。語言上有意在往輕松詼諧的方向上靠攏，每期想得更多的是如何把復(fù)雜的問題講的更有趣、更容易聯(lián)想記憶。隨著慢慢寫開來，意外的收到了很多反饋和鼓勵，這才讓我意識到，原來我以為的這些枯燥無趣的量子多體方法，其實有很多朋友在關(guān)注。因此，后期的文章少了些風(fēng)趣，多了些嚴(yán)謹(jǐn)；缺少了科普性，更像是lecture note了。如果有讀者在熱鬧之余，還能從這個系列中總結(jié)出自己學(xué)習(xí)量子多體方法的路線、能對多個不同小方向上的知識點融會貫通，我想這個系列的任務(wù)就算超額完成了。 動力學(xué)平均場走過三十年的發(fā)展歷程，回頭看，其實是量子多體方法論在嚴(yán)謹(jǐn)性和可行性之間不斷嘗試、取舍的過程。動力學(xué)平均場抓住了量子多體問題的一個核心，即大多數(shù)情況下動力學(xué)漲落要大于空間漲落。動力學(xué)平均場的發(fā)展使得強關(guān)聯(lián)電子材料的計算更為準(zhǔn)確，讓我們多了一套普適性更廣的量子多體方法。我相信，在各位年輕讀者的努力下，動力學(xué)平均場還會有下一個三十年，還將取得更好的發(fā)展。一方面因為它在材料計算上體現(xiàn)出了非凡的活力，另一方面也是因為它仍然有這么多不完美的地方，才更值得我們?nèi)ふ腋玫膭恿W(xué)平均場理論。這需要理論工作者的努力，更需要諸如數(shù)學(xué)物理、計算機技術(shù)、計算物理上的進(jìn)步。正因為這樣，年輕的朋友們才更有施展才華的空間。我也很期待，一個能同時描述空間和時間漲落、刻畫任意多體關(guān)聯(lián)、適用于多軌道真實體系的更好理論的出現(xiàn)。

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